高等数学速通笔记 2

第三章 微分中值定理与导数的应用

拉格朗日中值定理

若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 连续，在 (a,b)(a,b) 可导，则存在 ζ∈(a,b)\zeta \in (a,b)，满足：

f(b)−f(a)=f′(ζ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\zeta)(b-a)

解题方法：直接套用公式求 ζ\zeta，或用于证明不等式

第四章 不定积分

不定积分基本公式和概念

概念：

∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C

基本公式：

∫xμdx=xμ+1μ+1+C    (μ≠−1)\int x^{\mu}dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu +1}+C\;\;(\mu \neq -1)

∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac 1 x dx=\ln |x|+C

∫exdx=ex+C\int e^xdx=e^x+C

∫sin⁡x⋅dx=−cos⁡x+C\int \sin x\cdot dx=-\cos x+C

积分运算本质：求导的逆运算

换元积分法（凑微分）

∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx=∫f(u)du\int f\left(\phi(x)\right)\phi'(x)dx=\int f(u)du

其中 u=ϕ(x)u=\phi(x)

解题方法：观察被积函数是否有某部分导数与其他部分相乘，设 uu 为内层函数

分部积分法

∫u  dv=uv−∫v  du\int u\; dv=uv-\int v \;du

把不好积的变量变成好积的变量

选择 uu 的优先顺序：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数

方法：将乘积中的一部分作为 uu，另一部分与 dxdx 凑成 dydy

第五 & 六章 定积分及其应用

定积分概念

∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx 的几何意义是曲边梯形的面积，在（f(x)≥0f(x)\ge 0 时 ）

牛顿-莱布尼兹公式：

若 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，则：

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

这次不用 +C+C

定积分的几何应用

曲线 y=f(x)y=f(x) 和 $y=g(x) $ 所围成的面积：

S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxS=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx

image-20260801165808574

绕 xx 轴旋转体的体积：

V=π∫ab[f(x)]2dxV=\pi \int_a^b[f(x)]^2dx

第七章 常微分方程

微分方程和可分离变量法

微分方程的阶是最高阶导数的阶数（方程含导数 dxdy\frac {dx}{dy}）

通解含独立任意常数

特解是确定函数的解

可分离变量方程：

dydx=g(x)h(y)\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)

方法：把含 yy 的放在一边，含 xx 的一边，然后两边同时积分

一阶线性微分方程

标准形式：

dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

通解方法：

y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C \right)

方法：先识别处 P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x)，再代入公式

二阶常系数齐次线性微分方程

对于方程：

y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0

它的特征方程为：

r2+pr+q=0r^2+pr+q=0

  • 不等实根

    y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}

  • 相等实根

    y=(C1+C2x)er1xy=(C_1+C_2x)e^{r_1x}

  • 共轭复根（r=α±βir=\alpha\pm \beta i）

    y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)

方法：写出特征方程并求解，选择通解形式。在给定初始条件时，代入通解和其导数解求出常数