高等数学速通笔记 3

第八章向量代数和空间解析几何

向量的数量积（点积）

定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

结果为数量。

坐标运算：对应分量相乘再相加。

可以用来求夹角、判断垂直、计算投影。

夹角： $\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
垂直点积为0
投影为 $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec b|}$

向量的向量积（叉积）

$\vec a\times \vec b$ 是向量，模为 $|\vec a||\vec b|\sin \theta$

方向垂直于 $(\vec{a},\vec{b})$

几何意义：两向量为邻边的平行四边形面积

向量的混合积

$(\vec a,\vec b,\vec c)=\vec a\cdot(\vec b\times \vec c)$

这是一个数。

坐标形式为三阶行列式

几何意义：以三向量为棱的平行六面体体积

三向量共面时的混合积为0

方法：排成三阶行列式来计算

平面方程（点法式）

过点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，法向量 $n=(A,B,C)$ 的平面方程为：

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

已知三点求平面时，可以先由两点差得到两个向量，再叉积得法向量。

空间直线方程

已知直线上一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 和方向向量 $\vec s=(m,n,p)$ 对称式为：

$\frac {x-x_0}m=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}p$

参数式为：

$x=x_0+mt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+mt$

方法：求解直线和平面交点时，将参数式代入平面方程求出 $t$ ，再回代得到交点坐标

第九章多元函数微分法及其应用

多元函数的极限和连续

二元函数的极限要求沿任意路径趋近时极限相同

证明极限不存在只需要找两条不同路径是极限值不同。

连续要求极限值等于函数值。

方法：证明极限不存在，通常取 $y=kx$ 和 $y=0$ 两条路径，比较结果不存在

（如果极限带 $k$ ，那就直接不存在了）

偏导数

求 $f_x$ 时把 $y$ 当做常数，对 $x$ 求导。

求 $f_y$ 把 $x$ 当常数，对 $y$ 求导

几何意义：偏导表示函数沿坐标轴方向的变化率

高阶偏导数

$f_{xx}$ 是对 $x$ 求两次偏导

$f_{xy}$ 是先对 $x$ 再对 $y$ 求偏导

若混合偏导连续，则 $f_{yx}=f_{xy}$ ，即求导次序可以交换

全微分

全微分 $dz=f_xdx+f_ydy$ 是函数增量的线性近似

可微的必要条件是偏导存在，充分条件是偏导连续

多元复合函数求导（链式法则）

若 $z=f(u,v),\;u=u(x,y),\;v=v(x,y)$ ，则：

$\frac{\delta z}{\delta x}=\frac{\delta z}{\delta u}\cdot \frac{\delta u}{\delta x}+\frac{\delta z}{\delta v}\cdot \frac{\delta v}{\delta x}$

核心：路径相加，每条路径相乘

方法：画变量关系树，由内道外，每条路径的导数相乘，不同路径的结果相加

隐函数求导（一元）

方程 $F(x,y)=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$ ，则：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\;(F_y\neq 0)$

隐函数求导（二元）

$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$ ，则：

$\frac{\delta z}{\delta x}=-\frac{F_x}{F_z}\\ \frac{\delta z}{\delta y}=-\frac{F_y}{F_z}\\ (F_y\neq 0)$

方法：构造 $F(x,y,z)=0$ ，分别求出 $F_x,F_y,F_z$ ，代入公式计算偏导数

方向导数与梯度

方向导数：

$\frac{\delta f}{\delta l}=\Delta f\cdot \vec{e_l}$

其中梯度 $\Delta f=(f_x,f_y)$

相当于在一个方向求偏导

梯度方向是方向导数最大的方向，模等于最大方向导数

计算方向导数的方法：

先求梯度
将方向向量转化为单位向量
最后计算点积

多元函数的极值（无条件）

第一步：求解驻点。解 $f_x=0,\;f_y=0$

第二步判别：设 $A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$

计算 $D=AC-B^2$

$D>0,A>0$ 极小值
$D>0,A<0$ 极大值
$D<0$ 不是极值
$D=0$ 无法判断

方法：

求偏导
解驻点
算二阶偏导ABC
判别

条件极值（拉格朗日乘数法）

求 $f(x,y)$ 在 $\phi(x,y)=0$ 下的极值

构造拉格朗日函数：

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi(x,y)$

然后求解方程： $L_x=0,L_y=0,L_{\lambda}=0$

方法设 $L$ ，求三个偏导等于0，联立解出 $x,y$ ，再代入 $f$ 得极值。

二元函数的泰勒公式

二元函数在 $(x_0,y_0)$ 处的二阶泰勒展开：

$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x\Delta x+f_y\Delta y + 12[f_{xx}(\Delta x)^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}(\Delta y)^2]$