高等数学速通 笔记4

第十章 重积分

二重积分的概念与性质

二重积分：∫∫Df(x,y)do\int\int_Df(x,y)do 表示曲顶柱柱体的体积

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若区域关于 xx 周对称且 ff 对 yy 为奇函数，则积分为0

若为偶函数，则积分为上半去的两倍

二重积分直角坐标计算（X-型）

X-型区域：xx 从 aa 到 bb，每个 xx 对应 yy 从 y1(x)y_1(x) 到 y2(x)y_2(x)

积分公式：

∫∫Df dxdy=∫abdx∫y1(x)y2(x)f dy\int\int_Df\,dxdy=\int_a^bdx\int_{y1(x)}^{y2(x)}f\,dy

先话区域图，确定 xx 范围，再确定每个 xx 对应的 yy 上下限。先积 yy 后积 xx

二重积分直角坐标计算（Y-型）

Y型：yy 从 cc 到 dd。每个 yy 从x1(y)x_1(y) 到 x2(y)x_2(y)

∫∫Df dxdy=∫cddy∫x1(y)x2(y)f dx\int\int_Df\,dxdy=\int_c^ddy\int_{x1(y)}^{x2(y)}f\,dx

当 X-型积分困难时，交换积分次序，将区域改写成Y-型

二重积分的极坐标计算

适用于圆、扇形、圆环区域

三个变换：

x=rcos⁡θy=rsin⁡θdx dy=r dr dθx=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ dx\,dy=r\,dr\,d\theta

被积函数中的 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2

方法：确定 θ\theta 的范围，在确定 rr 范围。先积 rr 后积 θ\theta

第十一章 无穷级数

常数项级数的概念与性质

级数 ∑un\sum u_n 收敛等价于部分和有极限

必要条件：若级数 ，则 lim⁡n→∞un=0\lim_{n\to \infty} u_n=0，但逆不成立（如调和级数）

方法：先看通项是否趋于0，若不趋于0一定发散

正向级数审敛法（比较判别法）

若 0≤un≤vn0\le u_n\le v_n，vnv_n 收敛则 unu_n 收敛，unu_n 发散则 vnv_n 发散。

极限形式：若 lim⁡n→∞unvn=l∈(0,+∞)\lim_{n\to \infty}\dfrac{u_n}{v_n}=l\in(0,+\infty)，则两级数同发散收敛

常用方法 pp 级数法

∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}：

  • p>1p>1 收敛
  • p<1p<1 发散

方法：找 unu_n 同阶的p-级数或等比数列作比较对象

正向级数审敛法（比值判别法）

计算 ρ=lim⁡n→∞un+1un\rho=\lim_{n\to \infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}：

  • ρ<1\rho <1 级数收敛
  • ρ>1\rho >1 级数发散
  • ρ=1\rho=1 失效

适用于含有 n!n! 和 ana^n 的级数。

交错级数审敛法（莱布尼兹判别法）

交错级数 ∑(−1)n−1un(un>0)\sum(-1)^{n-1}u_n(u_n>0)

若 unu_n 单调递减且 lim⁡un=0\lim u_n=0，则级数收敛

然后判断是绝对还是条件收敛：

  • ∑∣un∣\sum |u_n| 收敛则为绝对收敛
  • 否则为条件收敛

幂级数的收敛半径和收敛域

幂级数 ∑anxn\sum a_nx^n 的收敛半径

R=lim⁡n→∞∣anan+1∣R=\lim_{n\to \infty}|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}|

  • 当 ∣x∣<R|x|<R 绝对收敛
  • ∣x∣>R|x|>R 发散

收敛区间是 (−R,R)(-R,R)，端点要单独判断

收敛域 = 收敛半径 + 端点值判断