高等数学速通笔记 1

第一章函数、极限和连续

函数概念和性质

函数：是数集到数集的映射

基本初等函数：

常数
幂函数 $x^a$
指数函数 $a^x$
对数函数
三角、反三角函数

常见性质：

奇偶性
单调性
有界性

有上界、有下界

定义域：

分母不为0
偶次根号内非负
对数真数大于0

数列和函数极限

$\lim_{n\to \infty}a_n=A$ 表示 $n$ 无限增大， $a_n$ 无限接近 $A$

函数极限存在当且仅当左右极限存在且相等

数列极限：分子分母同时除以 $n$ 的最高次幂

分段函数极限：在分段点左右分别求左右极限

夹逼定理和两个重要极限

夹逼定理：

若 $g(x)<f(x)<h(x)$ ，且 $\lim g=\lim h =A$ ，则 $\lim f = A$

两个重要极限：

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1$
$\lim_{x\to \infty}(1+X)^x=e$

第一个用于 $\dfrac{\sin \boxed{}}{\boxed{}}$ ，第二个用于 $1^{\infty}$

等价无穷小替换

当 $x\to 0$ 时:

$\sin x\sim x\\ \tan x\sim x\\ \ln(1+x)\sim x\\ e^x-1\sim x\\ 1-\cos x\sim \frac 1 2 x^2$

只有在乘除中可以直接替换

加减中慎用

函数的连续性和间断点

函数在 $x_0$ 处连续： $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

间断点：

可去：极限存在不等于函数值或无定义
跳跃：左右极限存在但不相等
第二类：极限不存在

方法：先求左右极限，再与函数值比较，判断间断点类型

零点定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$ ，则至少存在一点 $x\in(a,b)$ ，满足 $f(x)=0$

用于证明方程根存在性

构造辅助函数，验证端点值异号

洛必达法则

对于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型未定式，有：

$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$

（在右侧极限存在时）

先用代入法判断是否为未定式，再分子分母分别求导，可重复使用

第二章一元函数微分学

可导与连续的关系

可导一定连续，连续不一定可导

方法：判断分段函数在分段点的可导性，要分别计算左导数和右导数，若相等则可导

区别：

连续性：极限 = 真实取值？
可导性：左导数 = 右导数？

四则运算和符合函数可导

若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导

则

$(uv)'=u'v+uv'$
$(\dfrac u v)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

若 $y=f(u),u=g(x)$ ，则：

$\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)$

隐函数与对数求导法

隐函数求导：对于 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，来解出 $y'$

（比如有一项为 $y^2$ ，视为复合函数，变成 $2y\dfrac{dy}{dx}$ ）

对数求导法：对于 $y=f(x)^{g(x)}$ ，先取 $\ln y$ 在求导

高阶导数

高阶导数： $f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}$

莱布尼兹公式：

$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom n k u^{(k)}v^{(n-k)}$

函数的单调性与极值

$f'(x)>0 \Rightarrow$ 单调递增

极值由一阶导和二阶导共同判断：

极大值条件： $f'(x_0)=0,f''(x_0)<0$
极小值条件： $f'(x_0)=0,f''(x_0)>0$

函数凹凸性和拐点

$f''(x)>0$ 凹函数
$f''(x)<0$ 凸函数

$f''(x)=0$ 拐点（两侧凹凸性改变的点）

最值问题和经济应用

闭区间上最值求法：求驻点（一阶导数为0，包括极值点）和不可导点；比较端点和这些点的函数值

边际成本： $MC=C'(q)$ ，表示增加一单位产量所增加的成本

需求价格弹性：

$E=\frac{P}{Q}\cdot \frac {dQ}{dP}$