线性代数 听课笔记【下】

本文搬运自本人高中时期CSDN博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://blog.csdn.net/zhangtingxiqwq/article/details/135165435

矩阵“特征”相关的东西

矩阵特征向量和特征值

特征向量、特征值：成对出现，相对而言

非零向量 $x$ ，满足 $Ax=\lambda x$ ， $A$ 为方阵（相当于是线性变换），λ\lambda

为数。则称 $x$ 为一个特征向量， $\lambda$ 为一个特征值。

上面的等价条件： $Ax=\lambda Ix$ ，即 $Ax-\lambda Ix=0,(A-\lambda I)x=0$ 。因为 $x$ 非0，所以 $\det (A-\lambda I)=0$

所以求特征值等价于求解 $\det(A-\lambda I)=0$ 的解。

特征多项式

$P_A=\det(A-\lambda I)$ ，把 $\lambda$ 看成一个变量。（关于 $\lambda$ 的一个 $n$ 次多项式， $n$ 的方阵的行/列数）

举例：

性质：

1. $[\lambda^n]P_A=(-1)^n$ 。（因为每个 $\lambda$ 都去到，所以只能取对角线了）

2. $[\lambda^{n-1}]P_A=(-1)^{n-1}Tr(A)$

3. $[\lambda^0]P_A=\det A$

特征值：特征多项式的根。

若 $F$ 是一个代数闭域（即 $\forall$ 多项式 $f(x)$ ， $\exist x\in F$ 使 $f(x)=0$ )，则 $P_A=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda)$ ， $x_i$ 是 $P_A$ 的根。

常见代数闭域：复数域。（实数域不是，有限域也不是）

$\lambda_i$ 作为 $P_A$ 的根的重数，就称作代数重数。（相对的，几何
重数有忘了）

特征值的性质： $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$

1. 所有特征值的和为 $\sum_i\lambda_i=Tr(A)$

2. $\prod_i\lambda_i=\det A$

所以二阶方阵有和有乘积就可以求特征值。

举例：

求特征向量：解方程 $(A-\lambda I)x_i=0$

谱范数、谱分解

谱范数： $A^TA$ 的最大特征是的平方根（ $A$ 的最大奇异）。即线性变换可能能变多大。（谱范数大就大，小就小）

谱分解、对角化：一些方阵有 $n$ 个线性无关的特征向量 $v_1,v_2\dots v_n$ ，对应的特征值是 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$

首先有 $Av_i=\lambda v_i$ ，写在一起记做 $Q=(v_1,v_2\dots v_n)$ ：

记 $\Lambda$ 为：

有 $AQ=Q\Lambda$ ，所以 $A=Q\Lambda Q^{-1}$ ，这就叫对角化。

$A=Q\Lambda Q^{-1}=...=Q\Lambda^kQ^{-1}$

$\exp(A)$ ，也可以用对角化很方便表示 。

能对角化的矩阵：

1. 有 $n$ 个不同特征值的矩阵

2. 实对称矩阵有 $n$ 个实特征值。（即特征值全是实数）

不能对角化的矩阵：

1. 幂零矩阵。 $A\neq 0$ ，若 $A^k=0$ ，则 $A$ 不能对角化
   经典例子（可能有点丑）：

可以反证： $A^k=Q\Lambda ^kQ^{-1}$ ，只能为 $\Lambda^k=0$ ，即 $A=0$

线性递推

斐波那契的通项公式

$F_{i+1}=F_i+F_{i-1}$ ，矩阵形式：

求 $F_{i+k}$ ，则为

首先可以求出特征多项式为：

所以对角矩阵为：

.

马尔科夫矩阵Markov矩阵

$A1=1,A\ge 0$ （也就是随机矩阵）

性质：

1. $A$ 有特征值 $\lambda=1$ 。

2. 事实上：

   1. $A$ 的所有（复）特征值的模长 $\le 1$ 。（Gershgorin circle theorem）

   2. 若 $A$ 表示的图强连通。则 $A$ 的 1-特征空间 维度为1（注： $A$ 的 $\lambda-$ 特征空间为满足 $(A-I\lambda)x=0$ 所有维度为1的 $x$ ）

   3. 若 $A$ 表示的图强连通。则 $A$ 的 1-左特征空间 有只含正元素的向量。（本质为存在一个概率分布，最后有能够回来）（还有个叫 Perron-Fnbenious theorem）
      

      4. 若 $A$ 还非周期， $\exists p, A^p$ 只含正元素。
         更厉害的结论： $\forall x\ge 0$ 且 $\sum x_i=1$ ，则 $\lim_{x\to+\infty}x^TA^n=r^T$ （ $r^T$ 为确定）

初始 $x\in(0,1)$ ，目标赚到1。每次可以下注， $p$ 概率赢 $2y$ （ $y$ 为下注）， $1-p$ 失去 $y$ ，最优策略下赢的概率（取模）。
加强：每次下注比上次下注要下得更多