线性代数学习笔记（第 1 - 5 课）

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线性代数学习笔记（1-5）

第一课：矩阵运算体系

I 矩阵线性运算

• 同型矩阵：即行数相同、列数也相同的矩阵

1. 矩阵加

$$A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix}$$

2. 矩阵减

3. 矩阵数乘

   $$kA = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{bmatrix}$$

II 矩阵乘法

• 前提条件：只有当 第一个矩阵的列数​ 等于 第二个矩阵的行数 ​ 时，两个矩阵才能相乘。

• 中间相等，取两头
  

• 计算规则： “前行后列，点积求和”

• 计算步骤 ：结果矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ ，等于 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素相乘再相加（即向量的点积）。

特性：

III 转置与幂运算

1. 转置：把 $A$ 的 行和列互换 ，得到的记为 $A^T$
   

• 重要运算性质：
  

2. 幂运算

• 使用对象： 方阵

• $A^k$ 表示 $k$ 个 $A$ 相乘

• $A^0 = I$

注意点：

第二课：特殊矩阵性质

I 基础核心特殊矩阵

1. 零矩阵 （Zero Matrix）：记做 O 或 0

2. 单位矩阵（Identity Matrix）：

   • 定义：主对角线为1，其余为0的方阵，记为 I 或 E

   • 核心性质：
     

3. 对角矩阵（Diagonal Matrix）

   • 定义：非主对角线均为0的方阵

   • 表示：
     

   • 性质：

     • 

II 三角矩阵

定义均为方阵

1. 上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）
   

2. 下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）

3. 乘法重要性质

4. 转置重要关系

5. 行列式 （重要）：

• 三角阵的行列式 = 主对角线元素的乘积

6. 对角矩阵是特殊的三角阵

III 对称与反对称矩阵

1. 对称矩阵（Symmetric Matrix）

• 定义： $A^T=A$ 的方阵，即 $a_{ij}=a_{ji}$

• 性质：
  

2. 反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）

• 定义：满足 $A^T=-A$ 的方阵，即 $a_{ij}=-a_{ji}$

• 推论：主对角线必为0

例：

3. 任意方阵的“对称分解”

任何方阵 $A$ 均可以唯一分解为一个对称矩阵和反对称矩阵的和

$$A = \underbrace{\frac{A + A^T}{2}}{\text{Symmetric}} + \underbrace{\frac{A - A^T}{2}}{\text{Skew-Symmetric}}$$

举个例子：

第三课：逆矩阵理论

I 可逆定义与判定

严格定义：

其充要条件： $\det(A)\ne 0$ （行列式不为0）

II 伴随矩阵求逆

1. 代数余子式（Cofactor）

2. 伴随矩阵（Adjugate Matrix）

构造方式：将 代数余子式转置 后得到的矩阵

3. 伴随矩阵求逆公式

例子：

III 逆矩阵性质和初等变换求逆法

1. 逆矩阵性质：

2. 初等行变换法（手动求逆）（Gauss-Jordan法）
   

第四课：初等变换与初等矩阵

I 矩阵初等变换

1. 三类初等行变换

对矩阵进行以下操作，不改变方程组的解：

• 注意： 不可混用初等行、列变换（除非在进行特殊矩阵的化简）

2. 行阶梯形（Row Echelon Form）【REF】
   

例子：

$$\text{REF} = \left(\begin{array}{ccc|c} \boxed{1} & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & \boxed{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

3. 行最简形（Reduced Row Echelon Form）【RREF】

例子：

$$\text{RREF} = \left(\begin{array}{ccc|c} \boxed{1} & 2 & 0 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & \boxed{1} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

II 初等矩阵理论

初等矩阵的定义：

初等矩阵：对单位矩阵 E 只做一次初等行（列）变换得到的方阵，统称为初等矩阵。

初等矩阵理论的核心思想：

对矩阵做一次初等行变换，等价于在它左边乘上一个对应的初等矩阵。

例子（均以 单位矩阵 $I_3$ 为例 ）：

1. 交换两行

2. 某行乘以非零常数 $k$

3. 某行的 $k$ 倍加到另一行

4. 关键性质

   1. 初等矩阵的逆
      

   2. 行 & 列
      

III 初等矩阵的应用（逆、解方程、秩）

1. 初等变换求逆矩阵
   

2. 初等变换解方程组

若 $AX=B$ ，求 $X$

方法：若 $A$ 可逆，则 $X=A^{-1}B$

1. 求矩阵的秩

• 原理：初等变换不改变矩阵的秩

• 方法：将矩阵通过初等行变换化为 行阶梯形 (REF) ， 非零行的行数 就是矩阵的秩。

第五课：矩阵的秩

II 秩的定义与几何直观

秩（Rank）

1. 几何直观
   

2. 代数定义：最高阶非零子式

   1. 子式（Minor）：在矩阵中任选 $k$ 行 $k$ 列，交叉点构成的 $k$ 阶 行列式 。

   2. 定义：

II 求秩的方法

核心：化阶梯形

III 秩的性质与不等式

1. 四大基本性质

2. 关键不等式

3. 重要：Sylvester不等式