线性代数学习笔记（第 6- 10 课）

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线性代数学习笔记（6-10课）

第六课：分块矩阵

I 分块运算的规则

1. 分块矩阵

1. 运算规则

• 加法

• 乘法

前提： $A$ 的列分发和 $B$ 的行分法必须完全相同

II 分块对角阵的性质

定义：一个分块矩阵除了主对角线上的子块外，其余所有子块都是零矩阵

形式：

性质：

1. 行列式等于对角块行列式之积
   

2. 逆矩阵等于对角块逆矩阵的分块对角阵

III 分块技巧的应用（分块矩阵辅助求逆）

1. $M$ 对角块或块三角矩阵
   

2. $M$ 特殊结构

第七课：行列式基础

I 排列和逆序数

1. 排列

2. 逆序

3. 逆序数：记为 τ

4. 奇排列和偶排列：有逆序数的奇偶性来定

II 行列式的数学定义

一般记为 det(A) 或 |A|

1. 2阶行列式

| a11  a12 |
| a21  a22 |  = a11 * a22 - a12 * a21

1. 3阶行列式

| a11  a12  a13 |
| a21  a22  a23 |  = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32
| a31  a32  a33 |    - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33

1. n阶行列式的完全展开式定义

设 A 是一个 n×n 方阵，其元素为 a_{ij} ，则它的行列式定义为：

det(A) = Σ_{(j1, j2, ..., jn)} [ (-1)^{τ(j1, j2, ..., jn)} * a_{1j1} * a_{2j2} * ... * a_{njn} ]

III 行列式的几何意义

一个 n×n 矩阵 A 可以代表一个 n 维空间中的线性变换。而行列式 det(A) 则完美地刻画了这个变换对空间造成的两种几何影响

1. 缩放倍数（由 $|det(A)|$ 决定）

2. 方向改变（由行列式符号 sign(det(A)) 决定）

1. det(A) = 0

相当于把一个 $n$ 维空间压缩到了一个更低为的的空间里

这对应的矩阵是不可逆的

第八课 行列式核心性质

I 行列式的“外形”变化

性质一：转置不变性

一个矩阵的行列式和其转置后的行列式相同。即 $|D|=|D^T|$

性质二：交换其中两行列，行列式变号

性质三：两行（列）相同，行列式为零

假设这两行相同，交换它们。根据性质二，行列式应变号。但交换相同的两行，行列式根本没有任何变化！所以这个值必须同时等于它自己和自己的相反数，唯一可能就是这个值本身是 0。

II 行列式的“内部”运算性质

性质四：数乘性质（提公因子）

行列式的其中某一行乘以 $k，等价于用 $k$ 乘以行列式本身

性质五：拆分性质（线性性）

性质六：倍加不变性

将某一行的 $k$ 倍加到另一行上，行列式的值不变

这有利于我们把行列式化成上三角行列式进行求解

III 特殊行列式

1. 核心技巧

利用性质六（倍加不变），将主对角线下的元素全部变成0，即 上三角矩阵 ，此时行列式就变成了主对角线上所有元素的乘积

1. 重要性质：两行（列）成比例，行列式为零

我们可以先由性质四（数乘性质）和性质三共同推出

这个方法可以让我们快速判断一个行列式是否为0

1. “行和相等”型行列式

所有行（或列）的元素加起来都相等。常用技巧是将所有列（或行）都加到第一列（行），提取公因子，再创造零元素。

1. “爪型”行列式

除了主对角线和第一行、第一列外，其余元素均为0。通常通过倍加操作，将其化为上（下）三角行列式。

第九课：代数余子式和展开定理

I 余子式与代数余子式

1. 余子式

1. 代数余子式

代数余子式是在余子式上的基础上乘上一个符号因子

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

II 行列式按行（列）展开定理

一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的值，等于它的任意一行（或任意一列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

两种表达形式：

这个定理的本质是降阶。它将一个 n 阶行列式的计算，转化为 n 个 (n-1) 阶行列式（即余子式）的计算。

在具体计算过程中，我们 优先选含“0”的行或列进行展开

III 伴随矩阵与逆矩阵公式

1. 伴随矩阵的定会与构造

对于一个 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ ，我们定义它的伴随矩阵为 $A^{*}$ 或 $\text{adj}(A)$

1. 伴随矩阵与逆矩阵

对于任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，恒有以下关系：

由此，我们可以得到一个逆矩阵的决定公式：

$$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*}$$

第十课：克莱姆法则

I 方程组与克莱姆法则

假设我们现在要解这样一个方程：

此时我们记 系数行列式 $D$ ：

那克莱姆法则说的是：

若 $D\ne 0$

则方程有唯一解，且

$$\boxed{x_j=\dfrac{D_j}{D},\qquad j=1,2,\dots,n}$$

$D_j$ 的定义：

II 齐次方程组

但凭直觉知道，这种方差也可能有非0解，那必然有 $D = 0$

因此，我们可以得到一个等价命题：

齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解 ⇔ $\det(A)=0$

III 克莱姆法则简单用途

1. 作为“唯一解存在性”的简介判据

2. 打通“行列式 ↔ 逆矩阵 ↔ 解方程组”的逻辑闭环

克莱姆法则本质上是伴随矩阵求逆的另一种写法。