线性代数听课笔记【上】

本文搬运自本人高中时期CSDN博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://blog.csdn.net/zhangtingxiqwq/article/details/135164326

矩阵 $A\in F^{n\times m}$ ， $a_{i,j}\in F$

矩阵代表的是线性变换

线性变换性质（2个）：
$f:v\to w$ ， $v,w$ 线性空间（ $u,v\in V$ ， $c\in F$ ）， $f$ 为线性变换
$f(u\to v)=f(u)+f(v)$
- $f(cu)=cf(u)$

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线性变换的复合。 $A,B$ 矩阵，希望定义 $(AB)=C$ ， $C$ 也为矩阵。且对于 $\forall x\in F^k$ ，有 $C_x=A(Bx)$ （相当于能做两次线性变换）
线性变换的复合依然是一个线性变换。 $f,g$ 为线性变换， $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(u+v))=f(g(u)+g(v))=f(g(u))+f(g(v))$
$f(g(cu))=cf(g(u))$
$A\in F^{n\times m}$ ， $F^n\to F^m$ 。 $Bx\in F^m$ ，则 $B$ 为 $F^k\to F^m$ ，即 $B\in F^{m\times k}$ 。则 $C:F^k\to F^m\to F^n$ ，因此 $C$ 为 $F^{n\times k}$
$C_{i,j}=\sum_k a_{i,k}b_{k,j}$
矩阵乘法枚举顺序（代码）： $i,k,j$ ， 矩阵乘法提速！

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定义 $n$ 个向量 $\{v_1,v_2,\dots v_n\}$ 线性独立。不存在一个 $i$ 满足 $v_i\sum_{j\neq i}v_iv_j$ 。
一组向量的张成：span ( $\{v_1,v_2,\dots v_n\}$ ) $=\{v|\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3+\dots\alpha_nv_n\}$ （线性空间）
线性空间的基 $B$ ：它的所有线性组合能表示所有元素。即一组线性独立，张成 $V$ 的向量集。
线性空间的维度： $\dim(V)=card(B)$
$\dim(F^n)=n$
以上都是指有限集的线性独立
无线集合线性独立
定义：所有有限子集都线性独立
张成：所有有限子集的并
例子： $V=R,F=Q$ ，它的维度不是有限的。思考是多少维的？维度和实数个数是一样的。

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化为特殊形式，得原方程的解。

$\det(A)$ ，把方阵变成一个数。 $\det(A)=\sum_p(-1)^{\delta(p)}\prod_{i-1}^na_{i,p_i}$ 。（其中 $p$ 为排列， $\delta(p)$ 为逆序对个数）
性质
- $\det(I)=1$
- 交换两行： $\det \times=-1$
- 行乘 $c$ ： $\det \times=c$
- 一行加另一行： $\det$ 不变。
所以可以高斯消元算了。
矩阵满秩：行列式不为0。
$\det(AB)=\det A\det B$

求一个图的生成树个数
Kirchhoff矩阵 $K=DA$ ， $D$ 为度数矩阵（只有对角线上有数）， $A$ 为邻接矩阵（这东西应用原不止矩阵树定理，机器学习、物理领域）
性质1： $\det K=0$ ，即不满秩。（ $A$ 满秩当且仅当， $\forall x\neq 0$ ，都有 $A_x\neq 0$ ）。所以 $K1=0$ 。
性质2： $K$ 的所有代数余子式相同。
- 运用性质：所有列的和为0。
事实上， $K$ 的代数余子式 = 原图的生成树个数
应用：
- 树的边权积的和。邻接矩阵变邻接边权矩阵，度数矩阵同理。
- 所有边权和的和（省选原题P6624）。边权和为另一个形式的边权积。 $w_i'=1+w_x$ 。 $w_1'\times w_2'=(1+w_1k)(1+w_2k)=1+(w_1+w_2)x+w_1w_2x^2=\dots\bmod x^2=1+(w_1+w_2)x$
- 本质： $A\in F^{n\times n}$ ，现在把 $F$ 变成一个多项式了。
- CF578F