大学物理（上）力、运动、能量速通

质点运动学

位移、速度、加速度

质点运动方程：用 $t$ 表示 $x,y,z$，然后把 $t$ 消掉

只有 $ds=|d\vec{r}|$ 是对的。出现 $\Delta r,dr$ 基本是错的

瞬时速度是对每个坐标分量求导

加速度与速度同号为加速、异号为减速

$$v=v_0+\int_0^ta \,dt$$

圆周运动

• 切向：$a_t=\frac{dv}{dt}$
• 法向：$a_n={v^2\over \rho}$，其中 $\rho$ 是曲率半径

所以速度对时间求导就可以得出切向加速度

$$\omega = \omega_0+\int_0^t\alpha \,dt$$

其中 $\alpha$ 是角加速度

所以切向加速度：$a_t=\alpha R$

法向加速度：$a_n=\omega^2R$

质点动力学

Newton Law

牛顿第二定律：$\vec F={d\vec p\over dt}$，质量不变是 $F=m\vec a$

解微分方程（可分离变量法）：含 $v$ 的一道一边，然后两边同时积分，记得常数C

动量守恒

• 冲量：$\vec I=\int_{t_1}^{t_2} \vec F dt$

质点系的动量定理：只考虑外力

动量守恒：质点系的合外力为0（可以分方向）

角动量守恒

选择一个固定的点O，角动量为 $\vec L=\vec r\times \vec o=m\vec r\times \vec r$

如果是匀速圆周运动：$L=mvR$

力矩：$\vec M=\vec r\times \vec F$

角动量守恒：若力矩为0，则角动量不变

例：行星运动

机械能守恒定律

$$W=\int_{(1)}^{(2)}\vec F\cdot d\vec r$$

保守力：做功和路径无关

保守内力做功等于势能的减少

势能与参考系无关，与势能零点有关

势能函数的导数等于保守力的相反数：

$$F=-{dE_p\over dl}$$

万有引力的势能函数：$E_p=-G{Mm\over R}$

功能原理：外力与非保守内力做功，等于系统机械能的增量

流体

$$p=p_0+\rho gh$$

帕斯卡定律：施加于密闭容器内流体的压强将大小不变传递到各壁

不可压缩流体连续性方程：

• 定常流：流体速度只和位置有关，与时间无关
• 流线：切线方向是流体速度方向
• 连续性方程：$v_1S_1=v_2S_2=Q$

伯努利方程：

$${1 \over 2}\rho v^2+\rho gh+p=C$$

该方程恒等于单位体积流体所具有的能量（其中 $p$ 是压强）

刚体力学基础

转动惯量

刚体的运动形式可以分为平动和转动，转动可以用 $\theta,\omega,\alpha$ 描述

转动惯量：各质点质量乘以距离的平方再求和

空心物理的转动惯量比实心物体大

常见转动惯量：

平行轴定理：

刚体对任意周的转动惯量=对质心的转动惯量+质量乘以两个轴距离的平方

$$J=J_c+md^2$$

转动定律

$$M=J\alpha$$

其中 $M$ 是合外力矩，$\alpha$ 是角加速度

角动量守恒

$L=J\omega$

$$\int_{t_1}^{t_2}M_{外}dt=J\omega_2-J\omega_1$$

刚体的动能定理

$$W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}Md\theta$$

$$E_k={1\over 2}J\omega^2$$

机械振动与机械波

简谐振动

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

求导就可以得到 $x,a$

旋转矢量法（三角函数线）：矢量 $A$ 在圆上逆时针选择，在 $x$ 轴上的投影就是位移

弹簧振子周期：$T=2\pi\sqrt{m\over k}$

振动方程由牛二可以得到：

$$m{d^2x\over dt^2}=-kx$$

即：

$${d^2x\over dt^2}+\omega^2x=0$$

波函数

$$y=A\cos(\omega(t+{x\over u})+\varphi_0)$$

波的能量密度