Calculus - Limit 做题简记1

T1：函数极限的一些求法

2.48 - 4

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2+e^{\frac 1{x-1}}}$$

犯错之处：采用了乘 $e^{x-1}$，但指数是相加不是相乘，导致出错

Squeeze Theorem中的绝对值法

上界是很好放的，但下界我们不能说明其 $\ge 0$

我们的方法是，我们先求 $|\dfrac{x^3-1}{x^2+e^{\frac 1{x-1}}}|$ 的极限，那样子下界就可以放到 $0$ 了。然后下一步是可以用Squeeze Theorem的，得到：

$$\lim_{x\to 1}|\frac{x^3-1}{x^2+e^{\frac 1{x-1}}}| = 0$$

在这个时候把绝对值去掉即可！

趋于左右极限法

求函数极限可以考虑使用左右极限（one-side-limit）来逼近：

当 $x \to 1^+$ 时，有 $x - 1 \to 0^+$，$\frac{1}{x-1} \to +\infty$， $e^{\frac{1}{x-1}} \to +\infty$。

$$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - 1}{x^2 + e^{\frac{1}{x-1}}} = \frac{0}{+\infty} = 0$$

当 $x \to 1^-$ 时，有 $x - 1 \to 0^-$，$\frac{1}{x-1} \to -\infty$， $e^{\frac{1}{x-1}} \to e^{-\infty} = 0$

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3 - 1}{x^2 + e^{\frac{1}{x-1}}} = \frac{0}{1} = 0$$

左右极限趋于0，因此：

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 + e^{\frac{1}{x-1}}} = 0$$

T2 ： 不用洛必达来证明一些分数极限的方法

ex/x：放缩 + 二项式定理法

2.59 - 6

假设我们求：

$$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}x$$

这个东西不好处理，但我们可以直接把 $e$ 换成2，等价于求：

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}x$$

然后变成经典底数之后，可以直接采用二项式展开的思路并保留前几项来处理即可：

$2^x=(1+1)^x>\binom x 1+\binom x 2$

1-cosx / x：三角恒等变换 + 半角公式

2.59 - 4

设我们要求：

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}$$

对于上面这个经典结构，我们可以考虑利用半角公式：

$$1-\cos x=2\sin^2(\frac x 2)$$

然后配凑一下即可：

$$\frac{\sin^2(x/2)}{x/2}\cdot \sin(x/2)$$

$x$ 趋近于0时，即为 $1\cdot 0 = 0$

T3：1无穷型式子处理

2.59 - 1

对于 $1^{\infty}$ 型的式子，如果底数的1也是趋近出来的，我们就不能武断答案是1，因为这本质是上下两极限的拉扯中。常见的处理思路是拓展底数，降低指数的阶。

而拓展底数的方法，对于这种分数，我们可以考虑引入 $e$。

比如：

$$\lim_{x\to \infty}(1+{a\over x})^{bx}$$

按照上面的说法，$(1+{a\over x})$ 趋近与1，$bx$ 趋近与正无穷，这是undefined的。因此我们可以进行代数变形：

$$(1+{a\over x})^{bx}=(1+{a\over x})^{ {x\over a}\cdot {ab}}$$

那样子就变成了 $e^{ab}$，我们就可以求了。

一些可以直接用的式子式子：

$$\lim_{x\to \infty}(1+x)^{\frac 1 x} = \lim_{x\to 0}(1+\frac 1 x)^x=e$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$$