破环成链+运用特殊性质进行区间dp：AGC039E

本文搬运自本人高中时期CSDN博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://blog.csdn.net/zhangtingxiqwq/article/details/135041477

https://www.luogu.com.cn/problem/AT_agc039_e

数据范围很小，考虑枚举很多东西。

看到环，首先肯定要破环成链，直接令 nn 连出。考虑现在我们有一个 [1,n−1][1,n-1] 的区间，其中第 kk 个点往外连了，为了确保联通， [1,k−1],[k+1,n−1][1,k-1],[k+1,n-1] 两个区间之间肯定会互相连边。

那继续枚举，枚举跨中间那条线的很多线，因为满足有序性，设最靠近 ll 的为 xx ，最靠近 rr 的为 yy 。此时还要继续大胆假设下去，横跨 (x,y)(x,y) 的我们设终止点分别为 p,qp,q ，因此我们就划分成了 (l,p,x),(p+1,q−1,k),(q,r,y)(l,p,x),(p+1,q-1,k),(q,r,y) 三个子问题，记忆化搜索即可。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
//#define mo
#define N 45
int n, m, i, j, k, T;
int f[N][N][N], ans, a[N][N]; 
char str[N]; 

int dp(int l, int r, int k) {
	if(f[l][r][k]!=-1) return f[l][r][k]; 
	if((r-l)%2) return 0; 
	if(l==k && r==k) return 1; 
	if(l==k || r==k) return 0; 
	debug(">> [ %lld %lld ] %lld\n", l, r, k);  
	int x, y, p, q, s=0; 
	for(x=l; x<k; ++x) 
		for(y=k+1; y<=r; ++y) {
			if(!a[x][y]) continue; 
			for(p=x; p<=k-1; ++p) 
				for(q=k+1; q<=y; ++q) {
					if((p-q)%2) continue; 
					s+=dp(l, p, x)*dp(p+1, q-1, k)*dp(q, r, y); 
//					debug("x(%lld) y(%lld) p(%lld) q(%lld) %lld [%lld %lld | %lld] [%lld %lld | %lld] [%lld %lld | %lld] \n", x, y, p, q, s, 
//						l, p, x, p+1, q-1, k, q, r, y); 
					
				}
		}
	debug("f[%lld %lld][%lld] = %lld\n", l, r, k, s); 
	return f[l][r][k]=s; 
}

signed main()
{
	#ifdef LOCAL
	  freopen("in.txt", "r", stdin);
	  freopen("out.txt", "w", stdout);
	#endif
//	srand(time(NULL));
//	T=read();
//	while(T--) {
//
//	}
	memset(f, -1, sizeof(f)); 
	n=read()*2; 
	for(i=1; i<=n; ++i) {
		scanf("%s", str+1); 
		for(j=1; j<=n; ++j) a[i][j]=str[j]-'0'; 
	}
	for(k=1; k<n; ++k) if(a[n][k]) ans+=dp(1, n-1, k); 
	printf("%lld", ans); 
	return 0;
}