推性质 + 网络流：ICPC2025西安K

Killing Bits - Problem - QOJ.ac

首先我们要特判掉不进行任何一次操作的情况，即：ai=bia_i=b_i

接下来我们有两个必要条件：

  • ai&bi=bia_i \& b_i=b_i
  • ∃p,  pi&bi=bi\exist p,\;p_i\& b_i=b_i

而这其实也是充要的。因为我们只需要让所有满足条件的排列 pp 都做一次操作即可。

接下来怎么判断条件2是否可行。

一个朴素的思路就是网络流，每个 pip_i 向它可以到达的 bib_i 连一条边。

然后我们可以优化建图，每个 pip_i 向 pi−2jp_i-2^j 连一条正无穷的边即可。

image-20261002154710637

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
namespace Flow {
	#define int long long
	struct mf_graph {
		struct node {
			int x, y, z, n; 
		}; 
		vector<node>d; 
		vector<int>h, H, dep; 
		queue<int>q; 
		int k; 
		int u, v, w, S, T, ans=0; 
		void reset(int n) {
			h.resize(n+5); k=1; d.resize(2); 
			H.resize(n+5); dep.resize(n+5); 
		}
		void cun(int x, int y, int z) {
			++k; d.pb({x, y, z, h[x]}); 
			d[k].n=h[x]; h[x]=k;
		}
		void add_edge(int x, int y, int z) {
//        	 debug("%lld -> %lld %lld\n", x, y, z); 
			cun(x, y, z); cun(y, x, 0); 
		}
		int bfs() {
			while(!q.empty()) q.pop(); 
			fill(dep.begin(), dep.end(), -1); 
			h=H; 
			dep[S]=1; q.push(S); 
			while(!q.empty()) {
				u=q.front(); q.pop(); 
				for(int g=h[u]; g; g=d[g].n) {
					v=d[g].y; w=d[g].z; 
					if(w<=0 || dep[v]!=-1) continue; 
					dep[v]=dep[u]+1; q.push(v); 
				}
			}
			return dep[T]!=-1; 
		}
		int dfs(int x, int w) {
			if(x==T) return w;
			if(!w) return 0; 
			int ans=0, s; 
			for(int &i=h[x]; i; i=d[i].n) {
				int y=d[i].y, z=d[i].z;  
				if(dep[y]!=dep[x]+1) continue; 
				if(z<=0) continue; 
				s=dfs(y, min(w, z)); ans+=s; w-=s; 
				d[i].z-=s; d[i^1].z+=s; 
				if(!w) break;  
			}
			return ans; 
		}
		int flow(int SS, int TT) {
			S=SS; T=TT; H=h; ans=0; 
			while(bfs()) ans+=dfs(S, 1e18); 
			return ans; 
		}
	}; 	
	#undef int
}
using namespace Flow; 



//#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
//#define mo
#define N 50010
int a[N], b[N], c[N], S, T, f1, f2; 
int n, m, i, j, k, TT;

signed main() {
	#ifdef LOCAL
	  freopen("in.txt", "r", stdin);
	  freopen("out.txt", "w", stdout);
	#endif
//	srand(time(NULL));
	TT = read();
	while(TT--) {
		n = read(); 
		mf_graph G; G.reset(n + 1); 
		for(i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(); 
		for(i = 1; i <= n; ++i) b[i] = read(); 
		for(i = 1, f1 = f2 = 1; i <= n; ++i) {
			f1 &= (a[i] == b[i]); 
			f2 &= ((a[i] & b[i]) == b[i]); 
//			debug("%d & %d = %d [%d %d]\n", a[i], b[i], a[i] & b[i], f1, f2); 
		}
		if(f1) { printf("Yes\n"); continue; } 
		if(!f2) { printf("No\n"); continue; }
		S = n; T = n + 1; 
		for(i = 0; i < n; ++i) {
			G.add_edge(S, i, 1); 
			for(j = 0; j < 30; ++j) 
				if(i & (1 << j)) G.add_edge(i, i - (1 << j), n + 1); 
		}
		for(i = 1; i <= n; ++i) G.add_edge(b[i], T, 1); 
		k = G.flow(S, T); 
		printf(k == n ? "Yes\n" : "No\n");  
	}
	return 0;
}