根号分治优化dp——暴力dp +类整数划分：0103C

本文搬运自本人高中时期CSDN博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://blog.csdn.net/zhangtingxiqwq/article/details/135402981

http://47.92.197.167:5283/contest/441/problem/3

首先有个暴力dp。 f(i,j)f(i,j) 和为 ii ，末项为 jj 。

看到这种和达到平方级别，比如初项和长度成反比的题目，应该要想到根号分治

我们随便分，比如初项 ≤B\le B ，那 jj 不超过 2B2B ，直接跑即可。

如果 >B>B ，我们考虑类整数划分思路。 g(i,j)g(i,j) 表示现在到第 ii 个，所有数总和为 jj ，且 [i,n][i,n] 和 i−1i-1 目前相同。则现在对于 ii ，我们可能±1，为了保证正确性，我们让后面的整体±1，也就是转移到 g(i+1,j+i),g(i+1,j−i)g(i+1,j+i),g(i+1,j-i) 。显然长度不超过 O(nB)O(\frac n B) 。

空间方面，第二个直接滚。第一个发现 ii 可以按  mod  2B\bmod\, 2B 的余数分类。因此空间是线性的。

然后我被卡常了。

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// ubsan: undefined
// accoders
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
#define Z(x) (x) * (x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
#define mo 998244353
//#define N
#define B 623
inline void Mod(int &a) {
    if (a >= mo || a <= -mo)
        a %= mo;
    if (a < 0)
        a += mo;
}
inline void Add(int &a, int b) {
    a += b;
    Mod(a);
}
int n, m, i, j, k, T, W;
int f[B * 3 + 10][3 * B + 10];
int g[2][300010];
int ans, M;

namespace Sol2 {
int ans = 0, s;
void Main() {
    for (i = 1; i <= n; ++i) {
        s = (1 + i) * i / 2;
        if (s > n)
            continue;
        if ((n - s) % i == 0)
            Add(ans, 1);
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
}  // namespace Sol2

signed main() {
    freopen("dazzling.in", "r", stdin);
    freopen("dazzling.out", "w", stdout);
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    //	srand(time(NULL));
    //	T=read();
    //	while(T--) {
    //
    //	}
    n = read();
    W = read();
    M = 3 * B;
    if (W == 0)
        return Sol2 ::Main(), 0;
    for (i = 1; i <= n; ++i) {
        for (j = 1; j <= 3 * B && j <= i; ++j) {
            if (i == j && i <= B)
                f[i % M][j]++;
            Add(f[(i + j + 1) % M][j + 1], f[i % M][j]);
            if (j > 1)
                Add(f[(i + j - 1) % M][j - 1], f[i % M][j] * W % mo);
        }
        if (i == n) {
            for (j = 1; j <= 3 * B && j <= i; ++j) Add(ans, f[n % M][j]);
        }
        for (j = 1; j <= 3 * B && j <= i; ++j) f[i % M][j] = 0;
    }
    for (i = 3 * B; i >= 0; --i) {
        for (j = B + 1; j * (i + 1) <= 3 * n; ++j) g[i & 1][j * (i + 1)]++;
        if (!i)
            break;
        //		debug("%lld : 1246[%lld] 1248[%lld]\n", i, g[i & 1][1246], g[i & 1][1248]);
        for (j = 1; j <= 3 * n; ++j) {
            if (j + i <= 3 * n)
                Add(g[(i - 1) & 1][j + i], g[i & 1][j] % mo);
            if (j - i >= 1)
                Add(g[(i - 1) & 1][j - i], g[i & 1][j] * W % mo);
            g[i & 1][j] = 0;
        }
    }
    debug(">> %lld\n", g[0][n]);
    Add(ans, g[0][n]);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}