本文搬运自本人初中博客园博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://www.cnblogs.com/zhangtingxi/p/15564095.html

题目链接

题目

“余”人国的国王想重新编制他的国家。他想把他的国家划分成若干个省，每个省都由他们王室联邦的一个成员来管理。

他的国家有 NN 个城市，编号为 1…N1\ldots N。

一些城市之间有道路相连，任意两个不同的城市之间有且仅有一条直接或间接的道路。

为了防止管理太过分散，每个省至少要有 BB 个城市。

为了能有效的管理，每个省最多只有 3×B3\times B 个城市。

每个省必须有一个省会，这个省会可以位于省内，也可以在该省外。

但是该省的任意一个城市到达省会所经过的道路上的城市（除了最后一个城市，即该省省会）都必须属于该省。

一个城市可以作为多个省的省会。

聪明的你快帮帮这个国王吧！

思路

一道非常好的树上构造题。

首先我们先dfs，对于当前点 xx，当其叶子节点（假设为 yy）返回以 yy 为根的子树内未分配的节点，我们把它加入到一个集合（假设为 SS）。

当 SS 的大小大于 BB 时，我们就可以把 SS 划分到一个省内。

当对 xx 的子树dfs完后，我们把 xx 加入到集合 SS 中，并返回。

这里我们可以证明每次返回的集合 SS 的大小严格小于等于 BB。

  • 在未加入 xx 点之前，如果 SS 集合大于 BB，按照我们的步骤我们会把它们划分成一个省。所以划分完后，SS 的大小最大为 B−1B-1，加入 xx 后最大为 BB。所以 ∣S∣⩽B|S|\leqslant B。

因此我们也可以证明每次划分出来的省的大小都小于等于 2×B−12\times B-1。

  • 由于划分前 SS 的大小最大为 B−1B-1（前面已证），子树返回的大小最大为 BB，故省的大小最大为 2×B−12\times B-1。

dfs后如果集合 SS 非空，我们则把它放入最后一个省里。我们可以证明最后一个省严格小于等于 3×B−13\times B-1。

  • 由于最后的集合 SS 未加入之前省的大小最大为 2×B−12\times B-1，集合 SS 的大小最大为 BB，故加入后这个省的大小最大为 3×B−13\times B-1。

时间复杂度：O(n)O(n)。

要注意的是dfs后要先判断是否存在省再加入。

集合 SS 可以用栈来实现。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
// Problem: P2325 [SCOI2005]王室联邦
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2325
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
#define N 1010
struct node
{
	int x, y, k, n; 
}d[N*2]; 
int n, m, i, j, k; 
int h[N], rot[N], zhan[N], shu[N]; 
int num, top, u, v; 

void cun(int x, int y)
{
	d[++k].x=x; d[k].y=y; 
	d[k].n=h[x]; h[x]=k; 
}

void dfs(int x, int fa)
{
	int now=top; 
	for(int g=h[x]; g; g=d[g].n)
	{
		int y=d[g].y; 
		if(y==fa) continue ;
		dfs(y, x); 
		if(top-now>=m)
		{
			rot[++num]=x; 
			while(top>now) shu[zhan[top--]]=num; 
		}
	}
	zhan[++top]=x; 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin); 
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout); 
	n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<n; ++i)
	{
		u=read(); v=read(); 
		cun(u, v); cun(v, u); 
	}
	dfs(1, 0); 
	if(num==0) rot[++num]=1; 
	while(top) shu[zhan[top--]]=num; 
	printf("%lld\n", num); 
	for(i=1; i<=n; ++i) printf("%lld ", shu[i]); 
	printf("\n"); 
	for(i=1; i<=num; ++i) printf("%lld ", rot[i]); 
	return 0; 
}