质因数递推 + n^2+1质因数个数很少：0116A

本文搬运自本人高中时期CSDN博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://blog.csdn.net/zhangtingxiqwq/article/details/135626247

http://47.92.197.167:5283/contest/452/problem/1

考虑能不能不独立，预处理呢？假设我们知道 a2+1=pqa^2+1=pq ，考虑有 (a+x)2+1≡0(modp)(a+x)^2+1\equiv 0\pmod p ，一个合法的 xx 是 pp 。

那我们就可以从这里开始去更新了。

在这里插入图片描述

首先，要证明的是每个数枚举到的时候都是质数

在这里插入图片描述

复杂度显然是O(能过)，通过打表我们发现初始的数还算正常，后面的数会很大：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
//#define mo
#define N 2000010
int n, m, i, j, k, T, q;
int a[N], ans[N]; 

signed main()
{
//	#ifdef LOCAL
	freopen("coins.in", "r", stdin);
	freopen("coins.out", "w", stdout);
//	#endif
//	srand(time(NULL));
//	T=read();
//	while(T--) {
//
//	}
	
	ans[0] = 1e18; 
	for(i = 1; i <= 1e6; ++i) a[i] = i * i + 1, ans[i] = 1e18; 
	for(i = 1; i <= 1e6; ++i) {
		if(a[i] == 1) continue; 
		debug("%lld : %lld\n", i, a[i]); 
		for(j = i + a[i]; j <= 1e6; j += a[i]) {
			if(a[j] % a[i] == 0) a[j] /= a[i]; 
			ans[j] = min(ans[j], a[i]); 
		}
//		if(i % 100 == 0) debug(">> %lld\n", i); 
	}
	q = read(); 
	while(q--) {
		n = read();
		if(ans[n] == ans[0]) printf("-1\n"); 
		else printf("%lld %lld\n", ans[n], (n * n + 1) / ans[n]); 
	}
	return 0;
}

另一种玄学写法：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
//#define mo
#define N 2000010
int n, m, i, j, k, T, c[N], q;

void dfs(int x, int y) {
	int k = x * x + 1; 
	if(y != 1) c[x] = min(c[x], min(y, k / y)); 
	if(x + y <= 1e6) dfs(x + y, y); 
//	debug("%lld %lld\n", k, y); 
	if(x + k / y <= 1e6) dfs(x + k / y, k / y); 
}

signed main()
{
	freopen("coins.in", "r", stdin);
	freopen("coins.out", "w", stdout);
//	srand(time(NULL));
//	T=read();
//	while(T--) {
//
//	}
	memset(c, 0x3f, sizeof(c)); 
	dfs(1, 1); 
	q = read(); 
	while(q--) {
		n = read(); 
		if(c[n] == c[0]) printf("-1\n"); 
		else printf("%lld %lld\n", c[n], (n * n + 1) / c[n]); 
	}
	return 0;
}