决策单调性 =＞ 二分队列：P3515

本文搬运自本人高中时期CSDN博客，若图片加载不出来，可到原文查看：https://blog.csdn.net/zhangtingxiqwq/article/details/135033351

https://www.luogu.com.cn/problem/P3515

pi=max⁡j=1n(aj+∣i−j∣)−aip_i=\max_{j=1}^n(a_j+\sqrt {|i-j|})-a_i ， pp 之间独立，直接拆绝对值，到时候reverse再做一遍即可。

拆绝对值后，显然具有决策单调性，因为 i−j\sqrt {i-j} 以 ii 为自变量，求导后为减函数。然后我们采用二分队列优化。

此题关键：

  1. 直接暴力表示，然后拆绝对值

  2. 看出来满足决策单调性（去根号影响！）

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
//#define mo
#define N 500010
struct node {
	int x, l, r; 
};
int n, m, i, j, k, T;
double a[N];
int p[N], p1[N], p2[N]; 
int l, r, mid; 
deque<node>q; 

double calc(int j, int i) {
	return a[j]+sqrt((double)(i-j)); 
}

void work(int *p) {
	while(!q.empty()) q.pop_back(); 
	for(i=1; i<=n; ++i) {
		if(!q.empty()) {
			auto t = q.front(); q.pop_front(); 
			t.l=i; if(t.l<=t.r) q.push_front(t); 
		}
		node t; t.r=n; t.l=n+1; t.x=i; 
		if(i==1) t.l=i;  
		while(!q.empty() && calc(i, q.back().l) >= calc(q.back().x, q.back().l)) 
			t.l=q.back().l, q.pop_back(); 
		if(!q.empty() && calc(i, q.back().r)>=calc(q.back().x, q.back().r)) {
			l=q.back().l; r=q.back().r; k=q.back().x; 
			while(l<r) {
				mid=(l+r)>>1; 
				if(calc(i, mid)>=calc(k, mid)) r=mid; 	
				else l=mid+1; 
			}
			t.l=l; 
			auto t2=q.back(); q.pop_back(); 
			t2.r=l-1; q.push_back(t2); 
		}
		if(t.l<=t.r) q.push_back(t); 
		if(!q.empty()) {
			p[i]=(int)ceil(calc(q.front().x, i)); 
//			debug("%d -> %d %d\n", q.front().x, i, p[i]); 
		}
//		debug("> %d")
	}
}

signed main()
{
	#ifdef LOCAL
	  freopen("in.txt", "r", stdin);
	  freopen("out.txt", "w", stdout);
	#endif
//	srand(time(NULL));
//	T=read();
//	while(T--) {
//
//	}
	n=read(); 
	for(i=1; i<=n; ++i) a[i]=read(); 
	work(p1); 
	reverse(a+1, a+n+1); 
	work(p2); 
	reverse(p2+1, p2+n+1); 
	reverse(a+1, a+n+1); 
	for(i=1; i<=n; ++i) p[i]=max(max(p1[i], p2[i]), 0ll)-(int)a[i]; 
	for(i=1; i<=n; ++i) printf("%lld\n", p[i]); 
	return 0;
}