二元函数极值

定义

设 $z=f(x,y)$

在 $P_0$ 周围的邻域内每个点都要有定义（所以边界不考虑），且满足：

$$f(x,y)<f(x_0,y_0)$$

几个常见的二元函数极值：

定义法：

• $\sqrt{x^2+y^2}\ge 0$
• 马鞍面上的 $(0,0)$ 有小有大，所以不是极值点

必要条件

首先，二元极值满足：

• $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在偏导数
• $f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0$

极值点必为二者之一：驻点 or 偏导数不存在

驻点不一定是极值点

马鞍面：是驻点（球在上面也可以不动），但不是极值点

充分条件

1. 条件：邻域内有连续的一阶和二阶导，且 $f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0$

2. 记：

   

则：

• $AC-B^2>0$ 为极值（$A<0$ 极大值，$A>0$ 极小值）
• $AC-B^2<0$，一定不为极值
• $AC-B^2=0$ 无法判断，定义观察

$n$ 元函数极值：黑塞矩阵正定/负定

例题

一个普通二元函数求极值

1. 对 $x,y$ 分别偏导
2. 然后找令两式为的 $x,y$，这些就是驻点
3. 用 $AC-B^2$ 或黑塞矩阵的正负定来判断

充分条件证明

观察二元函数的泰勒公式

第二三部分为0

所以转化为 $h(\Delta x, \Delta y)$ 二级导的函数问题

提取 $\Delta y^2$，就变成了二次函数问题

若 $AC-B^2<0$，那随着 $u$ 变化正负都能取。那就一定不取极值点了。

若 $AC-B^2=0$ 就无法判断了。

但如果提的是 $\Delta x^2$ 出去呢？

为什么只由 $A$ 来定极大极小呢？

因为若 $AC-B^2>0$，则 $A,C$ 必然同号

最值问题

实际问题：

若 $f(x,y)$（处处可偏导） 的最值在 $D$ 内部，且只有一个驻点，那么这个驻点处一定是极值

例：$2m^3$ 的长方体水箱，长宽高多少体积最省

设 $x,y,\dfrac{2}{xy}$，则：

$$A(x,y)=2(xy+y\dfrac 2 {xy}+x\dfrac 2{xy})\;(x,y>0)\\ =2(xy+\dfrac 2 x+\dfrac 2 y)$$

求 $A_{\min}$

$$A_x'=2(y-\frac 2{x^2})=0\\ Ay'=2(x-\frac 2 {y^2})=0$$

然后做恒等变形，可以得到：

$$x=\sqrt[3]{2}\\ y=\sqrt[3]{2}$$

$z$ 也可以求了。

然后驻点就是截止点。