Lowbit题建Trie树并在Trie树上dp用启发式合并和ST表优化：26暑杭电 2 - 03

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1003 张力

涉及到多数字串lowbit相关的题目，我们考虑把所有数字从低位往高位建一棵Trie树。

如果在第 hh 层，左右有 nn 个连接点，则对答案的贡献是 n⋅2hn\cdot 2^h

我们考虑直接树上dp。

设 f(u,k)f(u,k)，表示当前在 uu，下面的孩子划分成 kk 段的最小代价。

显然转移方程为：

f(u,k)=min⁡1≤i≤s[L],1≤j≤s[R],∣i−j∣≤k≤i+j(f(L,i)+f(R,j)+(i+j−k)⋅2h)f(u,k)=\min_{1\le i \le s[L],1\le j \le s[R],|i-j|\le k\le i + j} \left(f(L,i)+f(R,j)+(i+j-k)\cdot 2^h\right)

这样子对于每个点都有枚举立方次。

我们考虑把其中一维扔掉。不妨令我们枚举 k,ik,i，那么：

f(u,k)=min⁡1≤i≤s[L](f(L,i)+i⋅2h+min⁡max⁡(1,k−i)≤j≤min⁡(s[R],k+i)(f(R,j)+2h⋅j))f(u,k)=\min_{1\le i \le s[L]}\left(f(L,i)+i\cdot 2^h+\min_{\max(1,k-i)\le j\le\min(s[R],k+i)}(f(R,j)+2^h\cdot j)\right)

后面那个东西可以ST表来维护。

根据启发式合并的思想，我们可以令 s[L]≤s[R]s[L]\le s[R] （不满足则交换 L,RL,R ），那样子复杂度就很优了。

复杂度不会算，反正能过。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define mo
#define N 5010
#define M (N * 55)
#define Mxdep 52
int n, m, i, j, k, T, rt;
int cct; 

struct Trie_tree {
	int son[M][2], s[M]; 
	int f[N][30], Len[N], tot; 
	vector<int>dp[M]; 
	void clear(int &u) {
		if(!u) return ; 
		clear(son[u][0]); clear(son[u][1]); 
		s[u] = tot = 0; dp[u].resize(0); u = 0; 
	}
	void add(int &u, int x, int dep) {
		if(!u) u = ++tot; 
		if(dep == Mxdep) return s[u]++, void(); 
		add(son[u][x & 1], x >> 1, dep + 1); 
	}
	void ST(int R, int h) {
		int i, j, k; 
		for(j = 1, Len[0] = -1; j <= s[R]; ++j) 
			f[j][0] = dp[R][j] + j * (1ll << h), Len[j] = Len[j >> 1] + 1; 
		for(k = 1; (1 << k - 1) <= s[R]; ++k) 
			for(i = 1; i + (1 << k) - 1 <= s[R]; ++i) 
				f[i][k] = min(f[i][k - 1], f[i + (1 << k - 1)][k - 1]); 
	}
	int Sq(int l, int r) {
		if(l > r) return 1e18; 
		int len = r - l + 1, k = Len[len]; 
//		debug("[%lld %lld](%lld) min(%lld %lld)\n", l, r, k, f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]); 
		return min(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]); 
	}	
	void run(int u, int dep) {
//		debug("[%lld](%lld) : %lld || %lld\n", u, dep, s[u], ++cct); 
		if(!u) return ; 
		if(dep == Mxdep) {
			dp[u].resize(s[u] + 1);  
			return ; 
		}
		int L, R, k, i; 
		run(L = son[u][0], dep + 1); 
		run(R = son[u][1], dep + 1); 
		if(s[L] > s[R]) swap(L, R); 
		s[u] = s[L] + s[R];
		if(!L) return dp[u] = dp[R], void(); 
		dp[u].resize(s[u] + 1); 
		ST(R, dep); 
//		debug("point[%lld](%lld) = %lld + %lld\n", u, dep, L, R); 
		for(k = 1; k <= s[u]; ++k) {
			dp[u][k] = 1e18; 
			for(i = 1; i <= s[L]; ++i) {
//				debug("%lld + %lld [%lld %lld]\n", k, i, max(1ll, k - i), min(s[R], k)); 
				int c1 = dp[L][i] + (1ll << dep) * (i - k); 
				int c2 = Sq(max(1ll, k - i), min(s[R], k + i)); 
				dp[u][k] = min(dp[u][k], c1 + c2); 
			}
//			debug("dp[%lld][%lld] = %lld\n", u, k, dp[u][k]); 
		}
	}
}Trie; 

signed main()
{
	#ifdef LOCAL
	  freopen("in.txt", "r", stdin);
	  freopen("out.txt", "w", stdout);
	#endif
//	srand(time(NULL));
	T = read();
	while(T--) {
		n = read(); 
		Trie.clear(rt); rt = 0; 
		for(i = 1; i <= n; ++i) {
			int x = read(); 
			Trie.add(rt, x, 0); 
		}
		Trie.run(rt, 0); 
		printf("%lld\n", Trie.dp[rt][1]); 
	}

	return 0;
}