推性质 + 绝对值函数处理：ABC479G

题目给定的式子是：

(Ai+ci)(Bj+dj)=(Aj+cj)(Bi+di)(A_i+c_i)(B_j+d_j)=(A_j+c_j)(B_i+d_i)

先除过去：

Ai+ciBi+di=Aj+cjBj+dj\frac {A_i+c_i}{B_i + d_i}=\frac {A_j+c_j}{B_j+d_j}

设上式为一个定值 pq\dfrac p q

Ai+ciBi+di=pq\frac {A_i+c_i}{B_i + d_i}=\frac p q

移项得到：

ci=1q(pBi−qAi+di)c_i=\frac 1 q(pB_i-qA_i+d_i)

因此：

∣di∣+∣ci∣=∣di∣+∣1q(pBi−qAi+di)∣|d_i|+|c_i|=|d_i|+|\frac 1 q(pB_i-qA_i+d_i)|

这是两个绝对值函数相加。

image-20261012172957386

一个斜率是 11，一个是 pq\dfrac p q

因此，零点在哪，之和 p,qp,q 关系有关。

但是，实际上，它的最值一定在两个零点之一处取到。而且在哪个之和 p,qp,q 有关，和 ii 无关。

而一个零点是 ∣di∣=0|d_i|=0，而另一个是 ∣ci∣=0|c_i|=0.

因此，要么 did_i 全是0，要么 cic_i 全是0。

两种情况翻转一下就能做了。

假设 ci=0c_i=0：

AiBi+di=pq\frac {A_i}{B_i+d_i}=\frac p q

我们设 x=qpx=\dfrac q p，而我们求的 ：∑∣di∣=∑∣Aix−Bi∣\sum |d_i|=\sum |A_ix-B_i|

然后现在变成一堆绝对值函数相加，求其最小值。

这个和上面是一样的，我们可以唯一确定零点在哪里。先对所有零点（BiAi\dfrac {B_i}{A_i}）排序，然后从左往右扫，维护从这个零点到下一个零点的斜率。当斜率从负转正的时候，这个零点就是我们需要的零点了。

然后带回去求 ∑∣Aix−Bi∣\sum |A_ix-B_i| 就行了。需要注意的是，如果 AiA_i 为0，说明 xx 取多少都无影响，那样子就恒贡献 BiB_i 了。

时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)，瓶颈在排序复杂度。

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#include<bits/stdc++.h>
#include<cassert>
using namespace std;bool Mbe;
#ifdef LOCAL
 #define debug(...) fprintf(stdout, ##__VA_ARGS__)
#else
 #define debug(...) void(0)
#endif
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
//#define M
//#define mo
#define N 200010
struct node {
	int x, y;
	void work() {
		if(!x) return y = 1, void(); 
		assert(y); 
		int z = __gcd(abs(x), abs(y)); 
		x /= z; y /= z; 
		if(x < 0 && y < 0) x = -x, y = -y; 
	} 
}C, ans;
struct Node {
	node A; int i; 
}; 
int n, m, i, j, k, T; 
int A[N], B[N]; 
vector<Node>G; 

bool operator < (node A, node B) {
	if(A.y * B.y > 0) return (__int128)A.x * B.y < (__int128)B.x * A.y; 
	else return (__int128)A.x * B.y > (__int128)B.x * A.y; 
}

node min(node A, node B) {
	return A < B ? A : B; 
}

node calc() {
	int sumA = 0; 
	G.clear(); 
	for(i = 1; i <= n; ++i) 
		if(A[i]) G.pb({(node){B[i], A[i]}, i}), sumA += abs(A[i]); 
//	for(auto t : G) t.A.work(); 
//	for(auto t : G) debug("%lld/%lld ", t.x, t.y); debug("\n"); 
	sort(G.begin(), G.end(), [] (Node A, Node B) { return A.A < B.A; }); 
	m = G.size(); 
	if(!m) C.x = 0, C.y = 1; 
	else {
		auto TT = *G.begin(); C = TT.A; 
		for(auto t : G) {
			sumA -= abs(A[t.i]) * 2; C = t.A;
			if(sumA < 0) break; 
		}
	}
	for(auto t : G) debug("%lld/%lld[%lld] ", t.A.x, t.A.y, (int)(t.A < C)); debug("\n"); 
	debug("(%lld %lld)\n", C.x, C.y); 
//	for(auto t : G) debug("%lld/%lld ", t.x, t.y); debug("\n"); 
	int sum = 0; 
	for(i = 1; i <= n; ++i) {
		if(!A[i]) sum += abs(B[i] * C.y); 
		else sum += abs(A[i] * C.x - B[i] * C.y); 
		debug("[%lld %lld]Sum become : %lld\n", A[i], B[i], sum); 
	}
	node t = {sum, abs(C.y)}; t.work(); 
	debug("t : %lld %lld\n", t.x, t.y); 
	return t; 
}

bool Med; signed main() {
	#ifdef LOCAL
	  freopen("in.txt", "r", stdin);
	  freopen("out.txt", "w", stdout);
	  atexit([]{fprintf(stderr,"%.lfms\n%lfMB\n",clock()*1000./CLOCKS_PER_SEC,(&Mbe-&Med)/1024./1024);});
	#endif
//	srand(time(NULL));
//	T = read();
//	while(T--) {
//
//	}
	n = read(); 
	for(i = 1; i <= n; ++i) A[i] = read(); 
	for(i = 1; i <= n; ++i) B[i] = read(); 
	ans = calc(); 
	for(i = 1; i <= n; ++i) swap(A[i], B[i]); 
	ans = min(ans, calc()); 
	printf("%lld %lld\n", ans.x, ans.y); 
	return 0;
}