【P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分】题解

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题目链接

题目

将整数 $n$ 分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：$n=7$，$k=3$，下面三种分法被认为是相同的。

$1,1,5$;
$1,5,1$;
$5,1,1$.

问有多少种不同的分法。

思路

首先我们可以打出一个暴力。然而为了防止重复，我们可以规定每次枚举出的这个数要大于等于上一个数。

然后只有40分。

考虑剪枝。

1. 建设剩下的 $n$ 要分成 $k$ 份，每份大小至少为 $v$。那么如果 $n\leqslant k\times v$，剩下的必然不够分。
2. 然后我们发现好像还超时，于是我们尝试规定每次枚举的数都要大于上一个数，那我们在枚举当前数的时候同时枚举他出现次数就行了。
3. 然后这样只有80分，我们尝试第1点中放到枚举过程里，然后就可以ac了。

总结

对于搜索剪枝的题目，我们可以超时考虑枚举的上下界。当还不行的时候，我们就把上下界放到枚举过程中，这能使程序运行效率大大增加。

Code

// Problem: P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1025
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define mo
//#define N
//#define M
int n, m, i, j, k; 
int f[210][10][10]; 

int dfs(int n, int k, int v)
{
	if(n==k&&k==0) 	return 1; 
	if(k==0&&n) return 0; 
	if(n<v*k) return 0; 
	// if(f[n][k][v]!=-1) return f[n][k][v]; 
	int ans=0; 
	for(int i=v; i*k<=n; ++i)
		for(int j=1; j*i<=n&&j<=k; ++j)
			ans+=dfs(n-i*j, k-j, i+1); 
	// return f[n][k][v]=ans; 
	return ans; 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	memset(f, -1, sizeof(f)); 
	n=read(); k=read(); 
	printf("%lld", dfs(n, k, 1)); 
	return 0;
}