【P3538 [POI2012]OKR-A Horrible Poem】题解

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题目

原题来自：POI 2012

给出一个由小写英文字母组成的字符串 S，再给出 q 个询问，要求回答 S 某个子串的最短循环节。

如果字符串 B 是字符串 A 的循环节，那么 A 可以由 B 重复若干次得到。

思路

首先，我们如果有三点：

1. 一个字符串的循环节必然是字符串长度的约数
2. 循环节的倍数如果长度还是字符串长度的约数，那么他也是循环节
3. 如果一个长度 $i$ 是字符串循环节长度，那么 $[l, r-i]$ 和 $[l+i, r]$ 必然相等

有了这三点，我们只需要打一个素数筛+哈希即可。

总结

这题是一道很综合的题，要求掌握两个知识点，是对循环节的综合考验：

1. 如下图中，对于字符串 $S$，若红色部分长度为 $S$ 长度的因数，且黄色部分等于橙色部分，则红色部分为 $S$ 的循环节。
   
2. 循环节的倍数如果长度还是字符串长度的约数，那么他也是循环节，于是可以从大到小试除判断

Code

// Problem: P3538 [POI2012]OKR-A Horrible Poem
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3538
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define N 500010
//#define M
#define mo 998244353
// #define mo 1000000009
struct node
{
	int x, y, n; 
}d[N*4]; 
int n, m, i, j, k; 
int a[N], f[N], l, r; 
int len, h[N], b[N], g;  
char s[N]; 

inline int MOD(int x)
{
	return (x%mo+mo)%mo; 
}

inline int qiu(int l, int r)
{
	return MOD(a[r]-a[l-1]*f[r-l+1]); 
}

void cun(int x, int y)
{
	d[++k].x=x; d[k].y=y; 
	d[k].n=h[x]; h[x]=k; 
}

int check(int x)
{
	return qiu(l, r-x)==qiu(l+x, r); 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	n=read(); scanf("%s", s+1); 
	for(i=f[0]=1; i<=n; ++i)
	{
		a[i]=MOD(a[i-1]*29+s[i]-'a'+1); 
		f[i]=MOD(f[i-1]*29); 
	}
	for(i=2; i<=n; ++i)
		if(!b[i])
			for(j=i; j<=n; j+=i) cun(j, i), b[j]=1; 
	m=read(); 
	while(m--)
	{
		l=read(); r=read(); 
		len=r-l+1; 
		// printf("> %lld\n", len); 
		for(g=h[len]; g; g=d[g].n)
		{
			i=d[g].y; 
			while(len%i==0 && check(len/i)) len/=i; 
		}
		printf("%lld\n", len); 
	}
	return 0;
}