【Loj #10047. 「一本通 2.2 练习 3」似乎在梦中见过的样子】题解

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题目

原题来自：2014 年湖北省队互测 Week2

「Madoka，不要相信 QB！」伴随着 Homura 的失望地喊叫，Madoka 与 QB 签订了契约。

这是 Modoka 的一个噩梦，也同时是上个轮回中所发生的事。为了使这一次 Madoka 不再与 QB 签订契约，Homura 决定在刚到学校的第一天就解决 QB。然而，QB 也是有许多替身的（但在第八话中的剧情显示它也有可能是无限重生的），不过，意志坚定的 Homura 是不会放弃的——她决定消灭所有可能是 QB 的东西。现在，她已感受到附近的状态，并且把它转化为一个长度为 $n$ 的字符串交给了学 OI 的你。

现在你从她的话中知道，所有形似于 $A+B+A$ 的字符串都是 QB 或它的替身，且 $|A| \geq k, |B| \geq 1$（位置不同其他性质相同的子串算不同子串，位置相同但拆分不同的子串算同一子串），然后你必须尽快告诉 Homura 这个答案——QB 以及它的替身的数量。

注：对于一个字符串 $S$，$|S|$ 表示 $S$ 的长度。

思路

暴力 $O(n^2)$:

枚举每个位置为开头，然后KMP匹配。

那么对于当前匹配出来的，是否可行呢？

对于任意公共前后缀，我们在这题中并不希望它最长，而希望它在满足长度 $\geqslant k$ 的情况下越短越好。

如下图中，那么我们先确定 $i$ 的最长前后缀结尾在 $j$，也就是 $s$ 与 $t$，匹配。

而这时，如果 $j$ 中有两个红色部分匹配，那么蓝色不分必然也与红色部分匹配。

因此，如果红色部分长度大于 $k$，则此时 $A$ 就是红色和蓝色部分，而不是 $s$ 与 $t$。

而如果红色部分没有长于 $k$，则我们判断 $s$ 是否长于 $k$，这是第二种情况。

总结

这道题是一道不错的字符串匹配题，$O(n^2)$ 能够只能说明数据弱。

这题真正的核心思想在于要是匹配长度大于 $k$ 时最小，我们可以通过转移过来的那个字符与当前长度分类讨论，以后遇到类似问题也可以往转移过来那个点来思考。

Code

// Problem: 1469：似乎在梦中见过的样子
// Contest: SSOIER
// URL: http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1469
// Memory Limit: 65 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define N 15010
//#define M
//#define mo
int n, m, i, j, k; 
long long ans; 
int p[N], f[N]; 
char s[N]; 

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	scanf("%s", s+1); k=read(); 
	n=strlen(s+1); 
	for(m=1; m<=n; ++m)
	{
		for(i=m+1, p[m]=j=m-1, f[m]=0; i<=n; ++i)
		{
			while(s[i]!=s[j+1] && j>=m) j=p[j]; 
			if(s[i]==s[j+1]) ++j; 
			p[i]=j; 
			if(f[j]) f[i]=f[j]; 
			else if(j-(m-1)>=k) f[i]=j-(m-1); 
			else f[i]=0; 
			if(f[i] && i-m+1>=2*f[i]+1) ++ans; 
		}
	}
	printf("%lld", ans); 
	return 0;
}