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题目链接

明显是道期望dp，设 fi=Ei→i+1f_i=E_{i\rightarrow i+1}。表示从第 ii 层到第 i+1i+1 层的期望步数。

所以 Ex→y=∑i=xyfiE_{x\rightarrow y}=\sum_{i=x}^yfi，即从第 xx 层走到第 yy 层的总期望步数。

现在推 fxf_x, 设 dxd_x 为 xx 的返祖边条数，gxg_x 为 xx 返祖到的点的集合，则：

fx=1dx+1×1+1dx+1×∑y∈gx(Ex→y+1)f_x=\frac{1}{d_x+1}\times 1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(E_{x\rightarrow y}+1)

后面那坨拆开：

fx=1dx+1×1+dxdx+1+1dx+1×∑y∈gxEx→yf_x=\frac{1}{d_x+1}\times 1+\frac{d_x}{d_x+1}+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}E_{x\rightarrow y}

把前两坨合并：

fx=1+1dx+1×∑y∈gxEx→yf_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}E_{x\rightarrow y}

按照开始的公式我们可以把后面的替换掉：

fx=1+1dx+1×∑y∈gx∑i=xyfif_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}\sum_{i=x}^yfi

最后那个 ∑i=xyfi\sum_{i=x}^yfi 明显可以用前缀和维护，则：

fx=1+1dx+1×∑y∈gx(Sx−Sy−1)f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(S_x-S_{y-1})

由于 SxS_x 未求出，我们可以把它拆开：

fx=1+1dx+1×∑y∈gx(fx+Sx−1−Sy−1)f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(f_x+S_{x-1}-S_{y-1})

拆开：

fx=1+1dx+1×∑y∈gx(Sx−1−Sy−1)+1dx+1×dx×fxf_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1})+\frac{1}{d_x+1}\times d_x \times f_x

两边同乘 dx+1d_x+1:

fx×(dx+1)=dx+1+∑y∈gx(Sx−1−Sy−1)+dx×fxf_x\times(d_x+1)=d_x+1+\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1})+d_x\times f_x

最后面的 dx×fxd_x\times f_x 移到左边：

fx×(dx+1)−dx×fx=dx+1+∑y∈gx(Sx−1−Sy−1)f_x\times(d_x+1)-d_x\times f_x=d_x+1+\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1})

化简一下：

fx=dx+1+∑y∈gx(Sx−1−Sy−1)f_x=d_x+1+\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1})

最终转移方程就求出来了

上代码：

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// Problem: P6835 [Cnoi2020]线形生物
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6835
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define mo 998244353
#define N 1000010
struct node
{
	int x, y, n; 
}d[2*N]; 
int n, m, i, j, k; 
int f[N], rd[N], s[N], h[N]; 
int u, v, w, x, y; 

void cun(int x, int y)
{
	++k; d[k].x=x; 
	d[k].y=y; d[k].n=h[x]; 
	h[x]=k; 
	rd[x]++;
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	read(); n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<=m; ++i)
	{
		v=read(); u=read(); 
		cun(v, u); 
	}
	for(x=1; x<=n; ++x)
	{
		f[x]=rd[x]+1; 
		for(j=h[x]; j; j=d[j].n)
		{
			y=d[j].y; 
			f[x]+=(s[x-1]-s[y-1]); 
		}
		f[x]=(f[x]%mo+mo)%mo; 
		s[x]=(s[x-1]+f[x])%mo; 
	}
	printf("%lld", s[n]); 
	return 0;
}