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题目

原题来自：CEOI 1999

给定一张无向图，求图中一个至少包含 3 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。该问题称为无向图的最小环问题。在本题中，你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。若无解，输出 No solution.。图的节点数不超过 100。

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思路

先不管方案，就是一个无向图求最小环问题。

那就是一个floyd，每一次把 kk 作为中转点前，先去统计与 kk 直接相接的两个点 i,ji,j 的最短路 fi,jf_{i, j}，如下图，此时的环为：di,k+fi,j+dk,jd_{i,k}+f_{i,j}+d_{k, j}。

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然后就是求方案，我们可以再做一边floyd。

每次求 fi,jf_{i,j} 的过程中记录 pi,j=kp_{i,j}=k，kk 代表中转点。

然后假如此时存在环的长度等于最小环的长度，说明这就是最小环。

然后递归输出方案即可。

Code

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// Problem: P6175 无向图的最小环问题
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6175
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define mo
#define N 510
#define M 500010
int n, m, i, j, k; 
int f[N][N], ans, u, v, w, d[N][N], p[N][N]; 
int numx, numy, num; 

void dfs(int i, int j)
{
	if(!p[i][j]) printf("%lld ", j); 
	else
	{
		dfs(i, p[i][j]); 
		dfs(p[i][j], j); 
	}
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	n=read(); m=read(); 
	memset(d, 9, sizeof(d)); ans=d[0][0]; 
	for(i=1; i<=n; ++i) d[i][i]=0; 
	for(i=1; i<=m; ++i)
	{
		u=read(); v=read(); w=read(); 
		d[u][v]=d[v][u]=min(d[u][v], w); 
		// a[i].u=u; a[i].v=v; a[i].w=w; 
	}
	memcpy(f, d, sizeof(f)); 
	for(k=1; k<=n; ++k)
	{
		for(i=1; i<=n; ++i)
			for(j=1; j<=n; ++j)
			{
				if(i==j || i==k || j==k) continue; 
				ans=min(ans, d[i][k]+d[k][j]+f[i][j]); 
			}
		for(i=1; i<=n; ++i)
			for(j=1; j<=n; ++j)
				f[i][j]=min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]); 
	}
	if(ans==f[0][0]) return printf("No solution."), 0; 
	memcpy(f, d, sizeof(f)); 
	
	for(k=1; k<=n; ++k)
	{
		for(i=1; i<=n; ++i)
			for(j=1; j<=n; ++j)
			{
				if(i==j || i==k || j==k) continue; 
				if(d[i][k]+d[k][j]+f[i][j]==ans)
				{
					printf("%lld ", k, i); 
					dfs(i, j); 
					return 0; 
				}
			}
		for(i=1; i<=n; ++i)
			for(j=1; j<=n; ++j)
				if(f[i][k]+f[k][j]<f[i][j])
				{
					f[i][j]=f[i][k]+f[k][j]; 
					p[i][j]=k; 
				}
	}
	return 0;
}


总结

无向图求最小环问题是一类非常经典的问题，常见的解法是floyd。

在floyd的过程中，把每个点作为中转点前应该先统计以其为环上一点来求最小环，可以配合上图记忆。

floyd上的方案问题可以尝试记录中转点来实现。